# Streuungsparameter

Streuungsparameter geben an, wie zerstreut deine Daten sind und helfen bei der Bestimmung der statistischen Signifikanz.

# Spannweite

Die Spannweite ist einfach nur die Differenz zwischen dem größten und dem kleinen Wert deiner Stichprobe. Sie gibt damit an, wie weit deine Werte gehen.

R=x​max​​−x​min​​

# Varianz

Die Varianz gibt an, wie sehr die Daten streuen. Eine besonders große Varianz deutet auf eine sehr große Streuung hin.

# Diskret

Diese Formel gilt für diskrete, mindestens intervallskalierte oder binäre Zufallsvariablen.

Var(X)=E((X−E(X))​2​​)=​j≥1​∑​​(x​j​​−μ)​2​​⋅f(x​j​​)

Das heißt: Die Varianz von X ist die summierte Differenz zwischen den Werten und dem arithmetischen Mittel (x​j​​−μ) quadriert in Verbindung mit der Auftrittswahrscheinlichkeit des Wertes (f(x​j​​)).

# Stetig

Diese Formel gilt für stetige Zufallsvariablen.

Var(X)=E((X−E(X))​2​​)=∫​−∞​∞​​(x−μ)​2​​⋅f(x)dx

Das heißt: Die Varianz von X ist die Differenz der Flächeninhalte zwischen den Werten und dem arithmetischen Mittel ($x-\mu$) in Verbindung mit der Auftrittswahrscheinlichkeit des Wertes ($f(x)$) in der Ableitung nach $x$.

# Standardabweichung

Dieser Wert ist eine standardisierte Metrik zur Begutachtung der Streuung der Daten.

σ​2​​=+√​Var(x)​​​

# Standardisierung

Die Standardisierung hilft bei einigen Berechnungen von Wahrscheinlichkeit. Eine Standardisierung wird über diese Formel erreicht:

Z=​σ​x​​​​X−μ​x​​​​

Dies resultiert in einem konstanten Erwartungswert und einer konstanten Varianz.

$$E(Z)=0$$

$$Var(Z)=1$$

# Quantile

Quantile definieren Grenzen, unter denen ein bestimmter Prozentsatz an Werten liegt. Möchtest du zum Beispiel eine Aussage treffen wie "35% aller Bahnfahrer sind weiter gereist als 1.000km.", wäre 1.000 km das 35%-Quantil, genannt 0.35-Quantil.

# Spezielle Quantile

• Median: 0.5-Quantil
• Terzile: p-Quantile für p=​3​​1​​ und p=​3​​2​​
• Quartile: p-Quartile für $p=0.25$ und $p=0.75$
• Quintile: you get the idea…
• …
• Perzentile: Alle p-Quartile für $0\le p\le 1$ in $0.01$-Schritten

# Interquartilsabstand

Der Interquartilsabstand ist der Abstand zwischen dem 0,25-Quartil und dem 0,75-Quartil. So berechnest du ihn ($\lfloor a\rfloor$ bedeutet, $a$ abzurunden):

1. Stichprobe sortieren. x​y​​ bezeichnet das $y$-Quartil. $n$ ist die Größe deiner Stichprobe.

2. 0,25-Quartil bestimmen: x​0.25​​=n⋅0.25
   Wenn das Ergebnis nicht ganzzahlig ist, berechne das nächste ganzzahlige Quartil:

   x​0.25​​=x​⌊n⋅0.25+1⌋​​

3. 0,75-Quartil bestimmen: x​0.75​​=n⋅0.75
   Wenn das Ergebnis nicht ganzzahlig ist, brechne das nächste ganzzahlige Quartil:

   x​0.75​​=x​⌊n⋅0.75+1⌋​​

4. Subtrahiere die Werte: IQA=x​0.75​​−x​0.25​​.

# Kovarianz

Die Koovarianz gibt an, ob hohe Werte zweier Stichproben mit hohen oder niedrigen Werten einhergehen oder gar kein Zusammenhang besteht.

Cov(X,Y)=E((X−μ​X​​)(Y−μ​Y​​))

oder auch:

Cov(X,Y)=​n​​1​​​i=1​∑​i​​(x​i​​−​x​¯​​)(y​i​​−​y​¯​​)

Mit Verschiebungssatz gilt auch:

$$Cov(X,Y)=E(X\cdot Y)-E(X)\cdot E(Y)$$

# Korrelationskoeffizient

Während die Kovarianz nur angibt, ob Werte zweier Stichproben möglicherweise korrelieren, gibt der Korrelationskoeffizient an, wie stark diese Korrelation ist.

ρ=ρ(X,Y)=​√​Var(X)Var(Y)​​​​​Cov(X,Y)​​

(Das Symbol $\rho$ ist ein Rho.)

# Beispiel