# Gesetz der großen Zahlen

Mit wachsendem Stichprobenumfang wird die Wahrscheinlichkeit sehr groß, einen Wert für ​X​¯​​ nahe dem Erwartungswert ($\mu$) zu beobachten.

# Implikation

Für ein beliebig kleines $c>0$ gilt:

P(∣​X​¯​​−μ∣≤c)→1

für:

$$n\to \infty$$

Das bedeutet: $P$ konvergiert in Wahrscheinlichkeit gegen $\mu$ mit wachsender Größe $n$.

Dieser Satz gilt auch bei Abschwächung der Annahme, dass die Werte unabhängig sind.

# Bernoulli

Bei binären Variablen (Bernoulli-Variablen genannt) gilt: Der Mittelwert (​X​¯​​) ist gleich die relative Häufigkeit, mit der ein Ereignis $A$ eingetreten ist.

Für ein Ereignis $A$ konvergiert die Wahrscheinlichkeit, dass es bei $n$ unabhängigen Wiederholungen eintritt, gegen $P(A)$.